Un peu d’histoire…

Au Néolithique ancien, soit aux environs de 7000 av. J.‑C., probablement pour échapper à l’aridité naissante du désert, des tribus se regroupèrent dans la vallée fertile du Nil où elles purent rapidement tirer profit des crues du fleuve.
Né au sud dans les montagnes d’Éthiopie, le Nil coule vers la Méditerranée sur plus de six mille kilomètres en traversant les déserts de Libye et de Nubie. Tous les ans, aux alentours de la mi‑juillet, gonflé par les pluies tropicales et la fonte des neiges des montagnes éthiopiennes, il inonde toute la vallée. Lorsqu’il reprend son cours normal, à partir de novembre, il laisse un limon très fertile de couleur noire qui permettra d’obtenir d’abondantes récoltes. Ce phénomène n’est plus visible aujourd’hui car la crue est contenue par plusieurs barrages et notamment celui d’Assouan qui forme le lac Nasser. La redéfinition des surfaces cultivables après chaque crue fut l’occasion pour les Égyptiens de l’Antiquité de développer les techniques d’arpentage ainsi que la géométrie, terme grec signifiant littéralement « mesure de la terre »

 

 

 

Plus de 2000 ans avant notre ère, donc bien avant l’invention de la géométrie en Grèce, pour mesurer les limites des champs que les crues du Nil modifiaient, les arpenteurs égyptiens utilisaient une corde composée de treize nœuds et douze intervalles réguliers. Pour tracer des droites perpendiculaires, il suffit de former avec cette corde un triangle dont le plus petit côté mesure trois intervalles, le côté perpendiculaire quatre intervalles, et le dernier côté, l’hypoténuse, cinq intervalles. Voici le triangle sacré, appelé aussi triangle isiaque (en référence à la divinité Isis) ou encore connu sous l’appellation « triangle de Pythagore ».

 

 

Il est assez surprenant d’apprendre que 1700 ans avant notre ère, un scribe du nom d’Ahmès rédigea un papyrus connu aujourd’hui sous le nom de « Papyrus Rhind » et traitant de problèmes algébriques, géométriques ainsi que du rapport entre la surface d’un carré et celle d’un cercle. Notez que trois célèbres philosophes‑mathématiciens à l’origine de grandes découvertes scientifiques auraient (aucune preuve historique encore connue) séjourné de nombreuses années en Égypte.

 

 

 

Tout d’abord Thalès de Milet (600 av. J.‑C.) serait parti à Naucratis pour étudier les mathématiques et notamment la géométrie. Sa philosophie place l’eau comme principe créateur de l’univers, tout comme chez les Égyptiens où le concept créateur se nomme « Noun », l’océan primordial. Dans sa ville natale, il fonda l’école Milésienne. Ses découvertes furent très importantes pour la physique, la géométrie (la fameux théorème de Thalès) et l’astronomie.

 

 

Puis Pythagore, contemporain de Thalès, aurait rejoint l’Égypte alors dirigée par le roi Amasis (environ 550 av. J.‑C.). Il y aurait séjourné plus de vingt années durant lesquelles il aurait été initié aux mystères osiriens. Lorsqu’il s’installa à Crotone, en Calabre, il fonda l’école pythagoricienne, un ordre fraternel, philosophique et scientifique qui avait pour symbole une étoile à cinq branches. Cette étoile formée par cinq « A » entrelacés était nommée « pentalpha » par les pythagoriciens. Elle est considérée comme le canon du nombre d’or car on la construit à partir d’un pentagone régulier réalisé à partir d’un triangle d’or, un triangle isocèle dont le rapport longueur sur largeur est égal au nombre d’or (φ = 1,618…)

 

Enfin, Euclide (300 av. J.‑C.) séjourna dans la ville d’Alexandrie sous le règne de Ptolémée Ier. Il composa Les Éléments, un recueil constitué de treize livres traitant principalement de géométrie (et d’algorithmique). Cette œuvre fondamentale pour la science fut une référence durant plusieurs siècles et influença de nombreux savants comme Copernic, Newton, etc. La méthode euclidienne fut perçue par les scientifiques et philosophes comme l’idéal de perfection du raisonnement. Pour désigner la logique, Blaise Pascal ne disait‑il pas « l’esprit de géométrie » ?

 

 

Calcul de la surface d’un disque

Le papyrus Rhind, actuellement conservé au British Museum, porte le nom de son acquéreur, l’égyptologue écossais Alexander Henry Rhind qui l’acheta en 1858, juste après sa découverte sur un site de l’antique ville de Thèbes, l’actuelle Louqsor. Rédigé en hiératique (écriture « hiéroglyphique » cursive) vers 1600 av. J.‑C. par le scribe Ahmès, ce papyrus s’appuie sur des documents plus anciens remontant au Moyen Empire. L’usage des fractions et des calculs par valeurs approchées nous amène au rapport entre l’aire d’un disque et celle d’un carré. Il est précisé que la surface d’un disque dont le diamètre mesure neuf unités correspond à la surface d’un carré de côté valant huit unités. Cette première approche de la quadrature du cercle remonte à presque deux millénaires avant notre ère et alloue à notre actuel nombre Pi la valeur de 16/9 au carré, soit 3,1604… Il faut comprendre par « quadrature du cercle », le calcul de sa surface sans utiliser le nombre Pi tel que nous le connaissons aujourd’hui (π = 3,14159…). Géométriquement parlant, cela consiste à tracer un carré de surface identique à celle d’un cercle à l’aide d’un compas et d’une règle non graduée, c’est‑à‑dire sans aucune mesure algébrique.

Sur un plan purement mathématique, le fait que le nombre Pi soit un nombre irrationnel, c’est‑à‑dire possédant un nombre infini de décimales non répétitives, rend impossible la résolution de la quadrature du cercle. Sur un plan plus philosophique, même si la nature humaine reste imparfaite, on ne doit jamais renoncer à la perfectibilité. En s’appuyant sur cette pensée et sur les outils de Pythagore, Thalès et Euclide, on peut facilement dessiner un carré de surface quasiment identique à celle d’un cercle :

 

  1. Tracer un cercle de centre o, de rayon r et construire le triangle rectangle de rapport ½ où la longueur du grand côté vaut deux fois le rayon. En utilisant la propriété du triangle rectangle de Pythagore, l’hypoténuse vaut r√5 (lire r multiplié par racine carrée de 5).

 

  1. Construire un rectangle de largeur égale au rayon et de longueur valant trois fois ce même rayon et une fois l’hypoténuse, soit oa= 3r + r√5.

 

  1. Positionner le point d de manière à obtenir, avec la droite (oa), un angle strictement supérieur à 0° et strictement inférieur à 90°. Tracer ensuite la droite (od) et reporter cinq fois le segment [os] de longueur quelconque. Tracer la droite (ad) et ses parallèles passant par chacun des points et coupant la droite (oa). Grâce au théorème d’intersection de Thalès, le rectangle peut être divisé en cinq parties strictement identiques.

 

  1. Prendre les 3/5 de la surface du rectangle. Pour un rayon de valeur 1, la surface du rectangle vaut 3/5(3 + √5) = 3,14164… et se rapproche de très près de celle du cercle calculée avec le nombre Pi : πr2= 3,14159

 

  1. À partir du rectangle obtenu et nommé (abcd), prolonger la droite (ad) afin de placer le point c’ tel que [dc’] = [dc] = r. Positionner le point i, milieu du segment [ac’], et tracer le cercle de centre i. Prolonger la droite (dc) de façon à couper le cercle en g. Grâce à la quadrature du rectangle d’Euclide, l’aire du carré (defg) est identique à celle du rectangle (abcd) et à 1/10000eprès, identique à celle du disque initial.

 

Le périmètre P = 2r[3/5(3 + √5)] et l’aire A = r2[3/5(3 + √5)] d’un disque peuvent alors se calculer avec la valeur approchée de Pi : 3/5(3 + √5), soit 3,14164…

L’expression (3 + √5) représente le périmètre du triangle rectangle de rapport ½, vaut 5,236 et correspond à un multiple de la coudée royale égyptienne qui vaut 0,5236m…

 

Coudée royale égyptienne et nombre d’or

Nos ancêtres, dans leur recherche de la beauté en harmonie avec l’homme et la nature, ont découvert les bases de l’harmonie universelle : le nombre d’or. On le désigne par la lettre grecque φ (phi) en référence au sculpteur grec Phidias (500 av. J.‑C.) qui l’utilisa pour réaliser les décorations du Parthénon. Ce nombre vaut exactement (1 + √5)/2 ≈ 1,618 et se dessine simplement à l’aide d’un compas et d’une règle non graduée de la façon suivante :

  1. Tracer un triangle rectangle de rapport ½ où la longueur du grand côté vaut deux fois celle du petit côté. En utilisant la propriété du triangle rectangle de Pythagore, l’hypoténuse vaut √5 (racine carrée de 5).

 

  1. Prolonger le petit côté et reporter, à l’aide d’un compas, la longueur de l’hypoténuse. On obtient ainsi un rectangle de longueur (1 + √5) et de largeur 2. Le rapport longueur sur largeur est égal à (1 + √5)/2 = φ, nous venons de tracer un rectangle d’or !

On constate donc un lien très étroit entre la valeur de φ et le périmètre du triangle rectangle de rapport ½ valant (3 + √5) ≈ 5,236 et correspondant à un multiple de la coudée égyptienne. Exprimons maintenant la valeur de ce périmètre p = 3 + √5 en fonction du nombre d’or φ = (1 + √5)/2

φ = (p – 2)/2      2φ = p – 2      2φ + 2 = p      p = 2(φ + 1)

Nous avons vu dans le calcul de la quadrature du cercle que la valeur approchée du nombre Pi (Va = 3/5[3 + √5]) était elle aussi proportionnelle à celle du périmètre du triangle rectangle de rapport ½ . Il ne reste plus qu’à exprimer cette valeur approchée en fonction du nombre d’or :

Va = 3/5(3 + √5)      Va = 3/5(p)      Va = 3/5[2(φ + 1)]      Va = 6/5(φ + 1)

Ainsi, l’aire et le périmètre d’un disque de rayon r se calculent de la façon suivante :

  • A = 6/5(φ+ 1) r2
  • P = 6/5(φ + 1) 2r

Conclusion

Ce petit voyage dans le temps et l’espace de l’ancienne Égypte a permis de mettre au jour les liens étroits entre les grandes civilisations qui se sont succédées à l’instar de la Grèce antique dont les contributions de trois de ses grands savants que sont Thalès, Pythagore et Euclide ont permis ici le traçage de la quadrature du cercle, c’est­‑à‑dire de tracer un carré de surface quasiment identique à celle d’un disque et sans aucune mesure ni aucun calcul.

La géométrie du triangle rectangle de rapport ½ est le point de départ que l’on retrouve à la fois lors du traçage de la quadrature du cercle ainsi que dans toutes les constructions proportionnelles au nombre d’or (triangle et rectangle d’or, pentagone régulier…).

En outre, sur le plan numérique, le périmètre de ce triangle (p = 3 + √5 ≈ 5,236) peut s’exprimer avec le nombre d’or (p = 2[φ + 1]) et correspond à un multiple de la coudée égyptienne « méhè » valant 0,5236m et correspondant à l’unité de base pour la mesure des longueurs et des volumes dans l’Égypte pharaonique.

La valeur approchée de Pi peut alors être calculée aussi bien avec le périmètre de ce triangle rectangle (Va = 3/5[3 + √5]) qu’avec le nombre d’or (Va = 6/5[φ + 1]).

Nicolas Orneto